BÖLÜM 3.

SÜREKLİ REJİMDE BİR BOYUTLU ISI İLETİMİ

3.1 Düzlemsel Duvar Sıcak akışkan Soğuk akışkan qx Eşdeğer ısıl devre

Düzlemsel bir duvarda bir boyutlu iletimde, sıcaklık sadece x ekseninin bir fonksiyonudur ve ısı yalnızca bu yönde geçmektedir. Duvar içinde ısı üretiminin olmadığı sürekli rejim koşulları için denklem aşağıda verilmiştir. d dT k 0 dx dx Bu denklemden, içinde ısı üretiminin olmadığı düzlemsel bir duvarda bir boyutlu, sürekli rejimde, ısı iletim akısının sabit olup x’ten bağımsız olduğu görülür. Duvar malzemesinin ısı iletim katsayısı sabit alınırsa, genel çözümü elde etmek için denklem iki kez entegre edilebilir. T(x) c x c 1 2

c1 ve c2 integrasyon sabitlerini bulmak için sınır koşulları gereklidir. x=0 ve x=L’de birinci tür sınır koşullarının geçerli olduğu varsayılsın: T(0) Ts,1 c2 Ts,1 T T s,2 s,1 T(L) Ts,2 c1 L Sabitlerin genel denklemde yerine konmasıyla sıcaklık dağılımı bulunur. x T(x) (Ts,2 Ts,1) Ts,1 L Bu sonuçtan, ısı üretimsiz ve sabit ısı iletim katsayılı düzlemsel bir duvarda, bir boyutlu, sürekli rejim ısı iletiminde sıcaklığın x ile doğrusal olarak değiştiği açıkça görülmektedir.

Sıcaklık dağılımı bilindiğinden, iletimle geçen ısı Fourier yasası kullanılarak bulunur. dT kA q kA (T T ) x dx L s ,1 s ,2 A’nın ısı geçişi yönünde dik duvar alanı olduğu ve düzlemsel duvar için x’e göre sabit kaldığı hatırlanmalıdır. Bu durumda ısı akısı aşağıdaki gibi yazılabilir. qx k qıı (T T ) x s ,1 s ,2 A L Isıl Direnç Direnç, bir potansiyel farkın akıma oranı olarak tanımlanıra, ısı iletim denkleminden ısı iletim direnci, aşağıdaki gibi olur. T T L R s ,1 s ,2 ilet qx kA

Bir ısıl direnç, yüzeyde taşınımla ısı geçişi ile de ilişkili olabilir. Newton soğuma yasasından, ısı taşınım direnci elde edilir. q hA(T T ) s T T 1 R s taş q hA Karma Duvar Eşdeğer ısıl devreler, karma duvarlar gibi daha karmaşık sistemler için de kullanılabilir. Böyle duvarların katmanları, farklı malzemelerden oluştuklarından çok sayıda seri ve paralel ısıl direnç içerebilir. Aşağıda seri karma duvar ele alınmaktadır.

Sıcak akışkan Soğuk akışkan qx

Bu sistem için bir boyutlu ısı geçişi aşağıdaki gibi ifade edilebilir. T T ,1 ,4 qx R T T ,1 ,4 qx 1 L L L 1 A B C h A k A k A k A h A 1 A B C 4 Isı geçişi ayrıca her bir elemanla ilişkili sıcaklık farkı ve dirençle de gösterilebilir. T T T T T T ,1 s ,2 s ,1 2 2 3 qx … 1 L L A B h A k A k A 1 A B

Karma sistemlerde Newton soğuma yasasına benzer bir biçimde tanımlanan, toplam ısı geçiş katsayısı U ile çalışmak çoğu kez daha kolaydır. qx UA T 1 UA R tot Burada incelenen karma duvar için 1 1 U R tot A 1 LA LB LC 1 h1 kA k B k C h 4 ve genel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. T 1 R R tot Q UA

Karma duvarlar aşağıda gösterildiği gibi seri –paralel olarak da tanımlanabilir. qx

Temas Direnci Şimdiye kadar göz önüne alınmamakla birlikte, karma sistemlerde, katmanların ara yüzeylerindeki sıcaklık düşmesi önemli olabilir. Bu sıcaklık düşmesi ısıl temas direnci Rc 2 (m K/W) ile ilişkilendirilir. Bu etki aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Arayüzeyin birim alanı için direnç aşağıda tanımlanmaktadır. TA TB R c qx qtemas qaralık

İletim Çözümlemesi İçin Başka Bir Yol İletim denklemi, doğrudan sıcaklık dağılımını elde etmek için çözüldü ve daha sonra ısı geçişini bulmak için Fourier yasası uygulandı. Bununla beraber aşağıda açıklanacak durum için başka bir yol da kullanılabilir. Şekildeki iletim ele alınırsa, sürekli rejimde, ısı üretiminin olmaması ve çevrenin yalıtılmış olması durumu için ısı geçişi : Qx Qx dx Bu koşul, beklendiği gibi, enerjinin korunumu ilkesinin bir sonucudur ve ısı iletim katsayısı sıcaklığa ve kesit alanı x’e bağlı olsa bile geçerlidir. Ayrıca, sıcaklık dağılımı, iki boyutlu olsa da, y yönündeki değişimi gözardı etmek ve x yönünde bir boyutlu bir dağılım varsaymak çoğu kez doğrudur.

Yalıtım Qx Adyabatik yüzey Qx+dx Qx Bu problemde iletim çözümlemesi yaparken sadece Fourier yasası kullanılabilir. Fourier yasası integral biçiminde yazılırsa, x dx T Q k (T)dT x x 0 A(x) T0 elde edilir. A kesit alanı sabit ve k sıcaklıktan bağımsız ise x=x -x ve T=T -T olmak üzere 1 0 1 2 Qx x k T biçiminde sadeleşir. A

3.2. Radyal Sistemler Isı üretiminin olmadığı sürekli rejim için, ısı denkleminin uygun şekli aşağıda verilmektedir. 1 d dT kr 0 r dr dr Katı içinde herhangi bir silindirik yüzey üzerinden iletilen ısı, Fourier yasasından dT dT qr kA k (2 rL) dr dr olarak gösterilebilir. Burada A=2 rL ısı geçişi yönüne dik alandır.

Sıcak akışkan Soğuk akışkan Soğuk akışkan Yüzeyde taşınım olan içi boş bir silindir.

Isı iletim katsayısı, k, sabit alınarak ısı iletim denklemi iki kez entegre ederek, T(r) c ln r c 1 2 elde edilir. c1 ve c2 entegrasyon sabitlerini bulmak için aşağıdaki sınır koşullar kullanılır. T(r ) T ve T(r ) T 1 s,1 2 s,2 bu koşullar genel çözümde kullanılırsa, T c ln r c ve T c ln r c s,1 1 1 2 s,2 1 2 2 elde edilir. c ve c ’nin çözülmesi e genel çözüme konmasıyla, 1 2 Ts,1 Ts,2 r T(r) ln( ) Ts,2 ln(r / r ) r 1 2 2 elde edilir. Silindirik duvar içinde radyal iletimle ilişkili sıcaklık dağılımı, aynı koşullardaki düzlemsel duvarda olduğu gibi lineer değil, logaritmiktir.

Sıcaklık dağılımı Fourier yasasında yerine konursa ısı geçişi için aşağıdaki denklem elde edilir. 2 Lk (T T ) s ,1 s ,2 qr ln( r / r ) 2 1 Bu sonuçtan silindirik duvarda radyal ısı iletimi için ısıl direnç, ln(r / r ) Rilet 2 1 2 Lk olur. Şimdi aşağıdaki karma sistem ele alınsın. Ara yüzeyin temas ısıl dirençleri gözardı edilirse, geçen ısı aşağıdaki bağıntı ile gösterilebilir. T T ,1 ,4 qr 1 ln( r / r ) ln( r / r ) ln( r / r ) 1 2 1 3 2 4 3 2 r Lh 2 k L 2 k L 2 k L 2 r Lh 1 1 A B C 4 4

Isı geçişi toplam ısı geçiş katsayısı cinsinden de ifade edilebilir. T T qr ,1 ,4 UA(T ,1 T ,2 ) R toplam U’nun tanımı boru iç yüzey alanına göre (A =2 r L ) yapılırsa, 1 1 her iki biçimde yazılan ısı geçiş denklemleri eşitlenerek, 1 U1 1 r1 r2 r1 r3 r1 r4 r1 1 ln ln ln h1 kA r1 kB r2 kC r3 r4 h4 elde edilir. Bu tanım aradaki alanların herhangi birine göre de yapılabilir. 1 U A U A U A U A R 1 1 2 2 3 3 4 4 U2, U3 ve U4 da benzer şekilde çıkarılabilir.

3.3. Küre İçi boş bir küre ele alınsın. Şekildeki diferansiyel kontrol hacmi için enerjinin korunumu, ısı üretiminin olmadığı, bir boyutlu sürekli rejimde olmasını gerektirir. Fourier denklemi, qr qr dr dT 2 dT qr kA k (4 r ) dr dr biçiminde olup, A=4 r2 ısı geçiş yönüne dik alandır. qr qr+dr

r T qr 2 dr s ,1 2 k (T )dT 4 r r T 1 s , 2 k’nın sabit olduğu varsayılırsa, 4 k (T T ) s ,1 s ,2 qr 1 1 r r 1 2 elde edilir. Isıl direncin, sıcaklık farkının geçen ısıya oranı olarak tanımlandığı göz önüne alınırsa, 1 1 1 Rilet 4 k r1 r2 elde edilir.

3.4. İçinde Isı Üretiminin Olduğu Sistemlerde İletim Bilinen bir enerji üretim olgusu, elektrik akımı taşıyan bir ortam içerisinde, elektrikten ısıl enerjiye dönüşümdür. Buna Omik veya direnç ısıtması adı verilir. Elektrik direnci Re olan bir ortam içerisinden geçen bir I akımı tarafından üretilen enerji aşağıda verilmiştir. . 2 E I R g e Bu güç üretimi (W), V hacimli ortam içerisinde düzgün dağılımlı 3 olarak gerçekleşiyorsa, hacimsel ısı üretimi (W/m ) . 2 . Eg I R e q V V olacaktır. Enerji üretimi, bir nükleer reaktörün yakıt elemanında nötronların yutulması ve yavaşlatılmasının veya bir ortam içerisindeki ekzotermik kimyasal reaksiyonların bir sonucu olarak da gerçekleşebilir. Endotermik reaksiyonlar doğal olarak ısıl enerjinin kimyasal bağ enerjisine dönüşmesinin bir sonucu olup, ısı çekilmesi etkisini gösterir.

Son olarak, elektromagnetik enerjinin ısıl enerjiye dönüşümü ortam içerisinde ışınımın yutulmasından kaynaklanır. Örnek olarak, gama ışınları nükleer reaktörün dış katmanlarında (mahfaza, ısıl kalkanlar, basınçlı gövde vb.) veya görünür ışınım yarı geçirgen bir ortam içerisinde yutulduğunda ısı üretimi oluşabilir. . q sabit Düzlemsel Duvar Yüzeyleri Ts,1 ve Ts,2’de tutulan ve içinde düzgün dağılımlı ısı üretimi olan düzlemsel duvar ele alınsın. Sabit ısı iletim katsayısı k için ısı denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. 2 . d T q 0 dx 2 k denklemin genel çözümü, . q 2 T x c x c 1 2 2k olup, burada c ve c entegrasyon sabitleridir. 1 2

qtaş qilet Simetrik sınır şartları Asimetrik sınır şartları qtaş qilet Orta düzlemde adyabatik yüzey

Verilen sınır koşulları için, T(-L)=Ts,1 ve T(L)=Ts,2 olduğundan sabitler, . T T T T s,2 s,1 q 2 s,1 s,2 c1 ve c2 L 2L 2k 2 biçimindedir. Bu durumda sıcaklık dağılım aşağıda gösterildiği gibidir. . 2 T T T T q x s,2 s,1 x s,1 s,2 T(x) 1 2k L2 2 L 2 Dikkat edilirse ortamda ısı üretimi olması durumunda ısı akısı x’e göre değişmektedir.

Her iki yüzey aynı ortak sıcaklıkta Ts,1=Ts,2=Ts tutulduğu zaman sonuç basitleşir. Sıcaklık dağılımı artık orta düzleme göre simetrik olup aşağıdaki biçimde verilir. . 2 2 q L x T(x) 2k 1 L2 Ts En yüksek sıcaklık orta düzlemde gerçekleşir. . 2 q L T(0) T0 Ts 2k Bu durumda sıcaklık dağılımı aşağıdaki gibi gösterilebilir. 2 T(x) T0 x Ts T0 L

T yerine yanındaki akışkanın sıcaklığı (T ) verilebilir. Bu taktirde s Ts ve T arasında ilişki kurmak gerekli olur. Bu ilişki bir yüzey enerji dengesi ile geliştirilebilir. Simetrik düzlemsel duvar veya yalıtılmış düzlemsel duvar için x=L’deki yüzey ele alınsın. Işınım göz ardı ederek ve uygun denklemleri yerine koyarak, enerji dengesi aşağıdaki gibi yazılabilir. dT k h(Ts T ) dx x L x=L’deki sıcaklık gradyanı, simetrik sınır şartı için elde edilen sıcaklık dağılımından, . q L T T s h elde edilir. Elde edilen son denklem, düzlemsel duvara toplam enerji dengesi uygulanarak da elde edilebilir. . . . Eg Eo , q L h(Ts T )

…