İletim, başka bir deyişle yayılma ile ısı geçişinin, bir ortamda sıcaklık farkı nedeniyle enerji geçişini göstermektedir. Bu fiziksel mekanizma rastgele atomik veya moleküler hareketliliktir. İletim denklemi Anlık iletim (enerji yayılımı) denklemi veya diğer adıyla “Fourier Yasası” örneğin x yönünde aşağıdaki gibidir. dT Qx kA dx Isının her zaman azalan sıcaklık yönünde geçmesi nedeniyle eksi işaretinin kaçınılmaz olduğu hatırlatılmalıdır. Isı akısı yöne bağlı bir büyüklük olduğundan, ileti m denklemi (Fourier yasası) daha genel bir ifade ile aşağıdaki gibi yazılabilir. T T T Q k T k i j k x y z

Burada üç boyutlu del operatörü ve T(x,y,z) skaler sıcaklık dağılımıdır. Isı akısı vektörü izotermal yüzeylere dik olduğundan Fourier yasasının diğer bir yazım biçimi aşağıdaki gibidir. T qn k n Isı yayılım denklemi Isı iletim çözümlemesinde asıl amaç, verilen sınır koşulları için bir ortamda sıcaklık dağılımını belirlemektir. Başka bir deyişle, ortamda sıcaklığın yerel olarak nasıl değiştiği bulunmak istenir. Bu dağılım bilindiğinde, ortam içinde veya yüzeyinde herhangi bir noktadaki iletimle ısı akısı Fourier yasasından hesaplanabilir. Sıcaklık dağılımı ayrıca bir yalıtım malzemesinin kalınlığını optimize edilmesinde, malzeme ile kullanılan yapıştırıcı veya kaplamanın uyumunun belirlenmesinde de kullanılabilir. Bu aşamada sıcaklık dağılımının nasıl belirlenebileceği ele alınmakta, enerji korunumu ilkesinin uygulandığı yöntem izlenmektedir.

Başka bir deyişle, diferansiyel bir kontrol hacmi tanımlandıktan sonra, ilgili ısı geçiş türleri belirlenmekte ve uygun an denklemleri yazılmaktadır. Sonuç, verilen sınır koşulları için, çözümü ortamdaki sıcaklık dağılımını sağlayan bir diferansiyel denklemdir. İçinde kütlesel hareket olmayan ve T(x,y,z) sıcaklık dağılımının dikdörtgen (kartezyen) eksen takımında gösterildiği homojen bir ortam ele alınsın. Qz+dz Qy+dy Qx+dx Qx Qy Qz

x, y ve z eksenleri üzerindeki kontrol yüzeylerinin her birine dik ısı iletimi sırasıyla q , q ve q terimleri ile gösterilir. Karşı x y z yüzeylerdeki ısı iletimi ise yüksek mertebeden terimlerin atıldığı Taylor seri açılımı ile ifade edilir. Qx Qx dx Qx dx x Qy Qy dy Qy dy y Qz Qz dz Qz dz z Sözel olarak, x+dx’deki ısı iletimi, x’teki değer ile dx uzunluğundaki değişimin toplamı olarak verilmektedir. Ortam içinde ısıl enerji üretimi ile ilgili olarak enerji kaynağı terimi de bulunabilir. Bu terim aşağıdaki gibi gösterilir. . . Eg q dxdydz

. Burada q ortamın birim hacimdeki, birim zamanda üretilen 3 ısıl enerjidir (W/m ). Ayrıca kontrol hacmine malzeme tarafından depolanan ısıl iç enerjide değişimler olabilir. Malzemede bir faz değişimi olmuyorsa gizli ısı etkileri yoktur ve enerji depolama terimi, . T Est cp dxdydz t T olarak yazılır. Burada cp ortamın ısıl enerjisinin birim t hacimde, birim zamanda değişimidir. Enerji korunumunun an denklemi: . . . . biçimindedir. Ei Eg Eo Est Düzenlenirse aşağıdaki denklem elde edilir. . T Qx Qy Qz q dxdydz Qx dx Qy dy Qz dz cp dxdydz t

İlgili denklemler yerine yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir. Qx Qy Qz . T dx dy dz q dxdydz cp dxdydz x y z t Isı iletimi Fourier yasası ile yazılabilir: T Qx kdydz x T Qy kdxdz y T Qz kdxdy z Bu denklemler yukarıda yazılır ve denklem dxdydz’e bölünürse, kartezyen (dikdörgen) koordinatlarda ısı yayılım denkleminin genel biçimi elde edilir. T T T . T k k k q cp x x y y z z t

Denklemde görülen her bir terimin fiziksel önemi açık olarak kavramalıdır. Örneğin, T terimi, x yönünde kontrol k x x hacmine net iletim akısını belirtmektedir. dx ile çarpıldığında ise aşağıdaki ifade elde edilir. T k dx Qx Qx dx x x k (W/mK), ısı iletim katsayısı sabit ise sı yayılım denklemi (ısı denklemi), 2 2 2 . T T T q 1 T 2 2 2 k t x y z olup, burada k / c ısı yayılım katsayısıdır. p

Sürekli rejim için depolanan enerjide değişim olmayacağından, 2 2 2 . T T T q 2 2 2 k 0 olacaktır. x y z Ayrıca, ısı geçişi bir boyutlu ise örneğin x yönünde ise ve ısı üretimi yoksa, d dT k 0 dx dx olur. Bu sonuçtan yapılacak önemli bir gözlem, ısı üretiminin olmadığı bir boyutlu sürekli rejim için, geçiş yönünde ısı akısının sabit olduğudur (dQ /dx=0). x

Silindirik Eksenler T 1 T T q k T k i j k r r z Q Q Q Q Q Q

Burada, T k T T qr k r q r qz k z Sırasıyla radyal, açısal ve eksenel yönlerde ısı akısı bileşenleridir. Diferansiyel kontrol hacmine enerji dengesi uygulanarak ısı denkleminin aşağıdaki genel şekli elde edilir. 1 T 1 T T . T r r kr r r2 kr z kr z q cp t

Küresel Eksenler T 1 T 1 T q k T k i j k r r r sin Burada, T k T 1 T qr k r q r q k r sin olup, sırasıyla radyal, kutupsal ve azimut yönlerinde ısı akısı bileşenleridir. QQ Q Q Q Q Q

Diferansiyel kontrol hacmine enerji dengesi uygulanarak ısı denkleminin aşağıdaki genel şekli elde edilir. 1 2 T 1 T 1 T kr k k sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin . T q cp t *Fourier yasasında sıcaklık gradyanının K/m biriminde olması gerektiği bilinmelidir. Bu nedenle, açısal eksende gradyan hesaplanırken yay uzunluğundaki diferansiyel değişme cinsinden ifade edilmelidir.

Sınır ve Başlangıç Koşulları Bir ortamda sıcaklık dağılımını belirlemek için ısı denklemini çözmek gerekir. Bu çözüm ortamın sınırlarında var olan fiziksel koşullara ve olay zamana bağlı ise, ortamın bir başlangıç anındaki haline bağlıdır. Isı denklemi uzamsal eksenlerde ikinci mertebede olduğundan sistemin çözümünde kullanılan eksenlerin her biri için iki sınır koşulu yazılmalıdır. Bununla beraber, denklem zamana göre birinci mertebede olduğundan başlangıç koşulu tektir. Isı geçişinde genellikle karşılaşılan aşağıda özetlenmektedir. Yüzeyde (x=0), ısı yayılma denklemi için sınır koşulları: 1. Sabit yüzey sıcaklığı (Dirichlet veya birinci tür), Ergimekte olan bir katı veya kaynamakta olan bir sıvı ile temasta tutulan bir yüzey için bu koşul oldukça doğrudur. T(0,t) Ts

2. Sabit yüzey ısı akısı (Neumann veya ikinci tür). Yüzeye ince film veya yama biçiminde elektrik direnci bağlanmasıyla gerçekleşebilir. a. Sabit yüzey ısı akısı qs T k qs x x 0 b. Adyabatik veya yalıtılmış yüzey T 0 x x 0 3. Yüzeyde taşınım olması. Yüzeyde taşınımla ısıtma veya soğutma olması hali. T k h T T(0,t) x x 0

…